Orthogonalsystem

Orthogonalsystem,

 

Funktionalanalysis: eine Menge von Elementen x_i (i Element einer abzählbaren Indexmenge I ) eines Hilbert-Raumes H, die paarweise zueinander orthogonal sind. Ist zusätzlich die Norm all dieser Elemente 1, so spricht man von einem normierten Orthogonalsystem oder Orthonormalsystem (oder einer Hilbert-Raum-Basis). Folgende Aussagen sind zueinander äquivalent und werden als Vollständigkeit des Orthogonalsystems bezeichnet:

 

1) Es gibt kein von null verschiedenes Element x in H mit strong>x, x_{i = 0 für alle i.}

 

2) Es gilt die parsevalsche Gleichung wobei ||x|| die Norm von x ist.

 

3) Für beliebiges x ∈ H existiert die Fourier-Entwicklung

 

Jeder Hilbert-Raum besitzt ein vollständiges Orthogonalsystem. Den Übergang zu einem Orthonormalsystem bezeichnet man als Orthonormierung. (schmidtsches Orthonormierungsverfahren)